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Wenn das wahr wäre !


Ein 100°-Winkel ist ein rechter Winkel - und damit sind alle Winkel gleichgroß

(Herkunft nicht mehr nachvollziehbar)
 
Konstruktionsbeschreibung: 

1.) Zeichne eine Strecke mit den Endpunkten A und B.

2.) Trage in A im rechten Winkel eine Strecke der Länge a ab, nenne ihren Endpunkt D.

3.) Trage in B in einem Winkel von 100° eine Strecke mit ebenfalls der Länge a ab, nenne ihren Endpunkt C.

4.) Durch Zeichnen der Strecke von C nach D entsteht ein Viereck, das kein Rechteck ist, d.h. gegenüberliegende Seiten sind nicht parallel.

5.) Konstruiere in M die Mittelsenkrechte auf der Strecke von A nach B.

6.) Konstruiere in N die Mittelsenkrechte auf der Strecke von C nach D.7.) Benenne den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit S, dieser existiert, da die gegenüberliegenden Seiten des Viereckes nicht parallel sind, und verbinde ihn mit den Eckpunkten A, B, C und D des Viereckes.

So entsteht etwa folgende Figur ( den Fall, dass der Schnittpunkt innerhalb des Viereckes liegt, mag der Leser analog als Übung untersuchen ! ):

Konstruktionsskizze

Beweisgang:

1.) Dreieck AMS ist kongruent Dreieck BMS ( Fall SWS, denn M ist Mittelpunkt der Strecke von A nach B, die Winkel bei M sind rechte Winkel und beide Dreiecke enthalten die Strecke von M zu S ) 

2.) Analog folgt die Kongruenz von Dreieck DNS zu Dreieck CNS. 

3.) Damit folgt die Kongruenz des Dreieckes ADS zu Dreieck BCS ( Fall SSS, denn jeweils zwei Seiten stammen aus den zuvor als kongruent erkannten Dreiecken, die dritte Seite hat gerade nach Konstruktion jeweils die Länge a ). 

4.) Also sind die (stumpfen) Winkel bei den Punkten A und B kongruent. 

5.) Da ferner die "unteren" Teilwinkel kongruent sind, denn  sie stammen aus den nach 1.) kongruenten Dreiecken, müssen auch die "oberen" Teilwinkel, die aber als rechter Winkel bzw. als 100°-Winkel konstruiert waren, kongruent sein.

Folgerung:

Aus 90°=100° folgt unmittelbar auch 1°=0° und damit, dass alle Winkel die Größe von 0° haben und damit gleichgroß sind!:


Alle endlichen Mengen enthalten nur ein Eleement

( Herkunft nicht mehr nachvollziehbar )
 
Unter der Mächtigkeit einer endlichen Menge kann die Anzahl ihrer Elemente verstanden werden. Im folgenden Beweis mittels vollständiger Induktion über die Anzahl der Elemente wird gezeigt, dass alle endlichen Mengen nur ein (und dasselbe!) Element enthalten und damit folglich gleichmächtig sind.

Induktionsanfang ( #M=1 ): trivial, da unmittelbar aus M={ a1 } die Behauptung folgt. 

Induktionsvoraussetzung ( #M=n ) : M={ a1 , ... , an } , es folgt a= ... = an 

Induktionsbehauptung ( #M=n+1 ) :  M={ a1 ,..., an+1 }, es folgt a1 = ... = an+1 

Induktionsschluss : Offenbar ist die (n+1)-elementige Menge M wie folgt auf zwei Arten in eine n-elementige und eine einelementige Menge zerlegbar: 
        M = { a1 ,..., an } u { an+1 } = { a1 } u { a2 ,..., an+1 } .
Nach Induktionsvoraussetzung folgt daraus unmittelbar
        a1 = a2 = ... = an und a= ... = a= an+1
und damit auch die Gleichheit aller Elemente ...