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Kühe - Pferde - Schafe


Die Aufgabe

(übermittelt von Sabine Utchil)

Auf einer Wiese stehen Tiere. Ohne Kühe sind es sieben Tiere, ohne Pferde acht Tiere und ohne Schafe neun Tiere. 

Frage: Wie viele Tiere sind von jeder Art vorhanden?


Aufgabenanalyse: 

Die Aufgabe ist ein konkreter Spezialfall der allgemeinen Aufgabe „Ohne Kühe sind es A Tiere, ohne Pferde B Tiere und ohne Schafe C Tiere“ mit natürlichen Zahlen A, B und C. Diese Aufgabe ist eindeutig lösbar genau dann, wenn sowohl 2 ein Teiler von A-B-C, also A-B-C eine gerade Zahl ist, als auch zusätzlich A-B-C <0 oder A-B-C=0 ist. Damit hat die konkrete Aufgabe genau eine Lösung: Es gibt fünf Kühe, vier Pferde, drei Schafe, also genau zwölf Tiere (s.u.).Die Aufgabe ist offen gestellt, eine Frage, die es zu beantworten gilt, wird nicht mitgestellt. Nahe liegend ist die Frage, wie viele Tiere es von jeder Art gibt, aber auch die Frage nach der Gesamtanzahl aller Tiere, beide Fragen sind auf viele Arten lösbar.Effizient, aber für die Lösbarkeit nicht zwingend notwendig, ist der mögliche Lösungsschritt, dass „ohne … bedeutet, dass es nur … und … sind“, denn damit wird die Lösung wesentlich erleichtert.Die folgende Übersicht zeigt einige, aber keineswegs alle Lösungsmöglichkeiten. Dabei werden folgende Abkürzungen bzw. Definitionen benutzt bzw. dem Text werden folgende vier Variable entnommen:                                                      

G: „Anzahl aller Tiere“,    K: „Anzahl der Kühe“,     P: „Anzahl der Pferde“,     S: „Anzahl der Schafe.


Lösungen ohne Benutzung von "ohne ... bedeutet, dass es nur ... und ... sind"

(1) Probieren durch Vermindern "von groß nach klein":

Aus einer beliebigen, großen Anzahl von Tieren werden Tiere herausgenommen, bis das Problem gelöst ist.

(Die Eindeutigkeit der Lösung wird so nicht nachgewiesen)

(2) Probieren durch Vermehren von "klein nach groß": 

Ausgehend von einer beliebigen, kleinen Anzahl von Tieren werden Tiere hinzugefügt, bis das Problem gelöst ist.

(Die Eindeutigkeit der Lösung wird so nicht nachgewiesen)

(3) Systematisches Probieren mittels Variation aller Tieranzahlen:

Die Anzahl der Schafe, Pferde und Kühe wird systematisch variiert und die Richtigkeit der Aussagen überprüft, bis eine Lösung gefunden ist:

S

P

K

G

G-K...7

G-P...8

G-S...9

1

1

1

3

<

<

<

1

1

2

4

<

<

<

1

2

1

4

<

<

<

...

...

...

...

...

...

...

3

4

5

12

=

=

=

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist schwierig zu begründen)

(4) Bestimmung der Differenz der Tieranzahlen und anschließend systematisches Probieren:

Ohne Kühe sind die wenigsten Tiere, also muss es am meisten Kühe geben. Ohne Schafe sind die meisten Tiere, also gibt es am wenigsten Schafe, d.h.     S<P<K. Wegen G-P=8 und G-S=9 muss es genau ein Schaf weniger geben als Pferde, wegen G-K=7 und G-P=8 muss es genau ein Pferd weniger geben als Kühe.Systematisches Probieren ergibt:

S

P

K

G

G-K...7

G-P...8

G-S...9

1

2

3

6

<

<

<

2

3

4

9

<

<

<

3

4

5

12

=

=

=

4

5

6

15

>

>

>

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist nachgewiesen)

(5) Systematisches Probieren ausgehend von der minimalen Tieranzahl:

Da G-K=9 gibt es mindestens 10 Tiere:

G

K wegen G-K=7

P wegen G-P=8

S wegen G-S=9

Summe S

S...G

10

3

2

1

6

<

11

4

3

2

9

<

12

5

4

3

12

=

13

6

4

5

15

>

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist nachgewiesen)

(6) Lösung über ein Gleichungssystem mit vier Variablen und vier Gleichungen:

G-K=7,     G-P=8,     G-S=9,     G-S+P+K=0.

Lösung mittels geeigneter Verfahren (Gauß-Algorithmus, Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren o.ä.).

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist nachgewiesen)


Lösungen mit Benutzung von "ohne ... bedeutet, dass es nur ... und ... sind"

(7) Systematisches Probieren mittels Variation aller Tierzahlen: 

Die Anzahl der Schafe, Pferde und Kühe wird systematisch variiert und die Richtigkeit der Aussagen überprüft, bis eine Lösung gefunden ist:

S

P

K

P+S...7

K+S...8

K+P...9

1

1

1

<

<

<

1

1

2

<

<

<

1

2

1

<

<

<

...

...

...

...

...

...

3

4

5

gleich

gleich

gleich

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist schwierig zu begründen)

(8) Systematisches Probieren mittels Variation einer Tieranzahl und Berechnug der weiteren Tieranzahlen:

Die Anzahl der Schafe wird systematisch variiert, die Anzahl der Pferde und Kühe berechnet und dann die Richtigkeit der letzten Aussage überprüft:

S

P wegen P+S=7

K wegen K+S=8

K+P...9

1

6

7

>

2

5

4

>

3

4

5

=

4

3

4

<

(Die Eindeutigkeit der Lösung kann begründet werden)

(9) Bestimmung der Differenz von Pferden und Schafen und anschließende Rechnung:

Wegen K+P=9 und K+S=8 folgt, dass es ein Pferd mehr gibt als Schafe. Wegen P+S=7 folgt dann unmittelbar P=4 und S=3 und aus K+S=8 sofort K=5.

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist nachgewiesen)

(10) Berechnung der Gesamtanzahl der Tiere mittels Gleichungen:

  P+S=7,     K+S=8,     P+S=9.

Addiert man die drei Gleichungen, so ergibt sich 2K+2P+2S=24, also 2(K+P+S)=24 und damit G=12.Dann ergibt sich aus G-K=12-K=7 die Lösung K=5 und analog P=4 und S=3.

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist nachgewiesen)

(11) Lösung über ein Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen:

P+S=7,     K+S=8,     K+P=9.

Lösung mittels geeigneter Verfahren (Gauß-Algorithmus, Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren o.ä.).

(Die Eindeutigkeit der Lösung ist nachgewiesen)