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Unglaublich - aber wahr


Das verlängerte Band um den Äquator

(aus der Elementargeometrie)

Sachverhalt: Man stelle sich vor, ein Band  verlaufe entlang des Äquators, dieses Band hat dann eine Länge von über 40.000 Kilometern. Würde man nun dieses Band um 10 Meter verlängern, so fiele diese Verlängerung prozentual kaum ins Gewicht (weniger als 0,0000%). Dennoch würde das so verlängerte Band überall ca. 1,50 Meter von der Erde abstehen!

Erklärung: Man berechne mittels des Erdumfanges den Erdradius formal, konkrete Zahlen sind nicht notwendig. Dann berechne man analog den Radius des um 10 Meter verlängerten Umfanges. Beim abschließenden Berechnen der Differenz bemerkt man, dass der Erdradius aus der Rechnung heraus fällt und als eine von den Radien unabhängige Zahl, nämlich 5 geteilt durch pi, als Ergebnis bleibt!

 

Die drei Türen und der Zonk (auch als "Ziegenproblem" bekannt)

(aus der Wahrscheinlichkeitstheorie)

Sachverhalt: Ein Quizkandidat hat die Wahl zwischen drei verschlossenen Türen. Hinter zwei der Türen befindet sich ein Zonk, hinter der dritten Tür jedoch ein wertvoller Gewinn. Der Quizmaster fordert den Kandidaten auf, sich für eine der Türen zu entscheiden und sich vor sie zu stellen. Nachdem dieser entschieden hat, öffnet der Quizmaster eine der übrigen Türen mit den Worten "Glück gehabt", denn dort befindet sich ein Zonk. Anschließend stellt er den Kandidaten erneut vor die Wahl, sich für eine der nun nur noch  zwei verbliebenen geschlossenen Türen zu entscheiden. Nun sollte der Kandidat schleunigst seine anfängliche Wahl revidieren und sich vor die andere noch geschlossene Tür stellen, denn so verdoppelt er seine Gewinnchance!

Erklärung: Es ist offensichtlich: Wenn der Kandidat vor der Tür mit dem Zonk steht, ist es günstig, die andere Tür zu wählen, sonst nicht. Da er aber die Tür zu einem Zeitpunkt gewählt hat, als es doppelt so wahrscheinlich war, eine Tür mit dem Zonk zu wählen, steht er mit der doppelten Wahrscheinlichkeit vor der Tür mit dem Zonk, d.h. es ist günstig zu wechseln.

(Natürlich kann das Ergebnis auch numerisch unter Definition geeigneter Ereignisse mittels bedingter Wahrscheinlichkeiten verifiziert werden.)


Das Geburtstagsproblem

(aus der Kombinatorik)

Sachverhalt: Bekanntlich hat das Jahr 365 Tage - 365 Tage, an denen man Geburtstag haben kann. Dennoch ist es bereits in einer Gruppe von 23 Personen wahrscheinlicher, dass mindestens zwei Gruppenmitglieder am gleichen Tag Geburtstag haben (natürlich ggf. mit unterschiedlichem Alter) als dass alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben!

Erklärung: Man berechnet die Anzahl der Möglichkeiten, dass alle 23 Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben (365 x 364 x ... x 343) und dividiert diese durch die Gesamtmöglichkeiten der Geburtstagsverteilung (365 hoch 23)t. Der entsprechende Quotient liegt dann über 0,5.

(Interessant ist in diesem Zusammenhang, dass eigentlich jeder genau diese Erfahrung im Freundes- und Bekanntenkreis macht, sie aber als "zufällig" abtut!)